Готовая презентация · 6 слайдов
Первообразная функции
Слайды и пояснения открыты без входа. Для скачивания PDF или PowerPoint понадобится войти.
Смотреть слайды
План презентации
2. Прямая и обратная задачи анализа
Дифференцирование определяет производную функции $f(x) \to f'(x)$. Интегрирование решает обратную задачу: по заданной производной $f(x)$ восстанавливает исходную функцию $F(x)$. Прямая операция — F(x) → f(x) = F'(x) Обратная операция — f(x) → F(x)
До сих пор мы занимались преимущественно дифференцированием: зная закон движения, находили скорость. Однако в естественных науках и технике чаще возникает обратная задача: зная скорость процесса в каждый момент, найти сам закон его протекания.
3. Определение первообразной
Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $I$, если для всех $x \in I$ выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Пример: $(x^3)' = 3x^2$, значит, $x^3$ — первообразная для $3x^2$. Условие — F'(x) = f(x) для всех x ∈ I Пример — (x^3)' = 3x^2
Сформулируем строгое определение. Обратите внимание: функция называется первообразной не вообще, а обязательно на заданном промежутке I, где существует и непрерывна производная.
4. Основное свойство и семейство функций
Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то любая функция $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная, также является первообразной. Разность двух первообразных одной функции постоянна. Общий вид — F(x) + C Теорема — F1(x) - F2(x) = const
Важнейшая особенность первообразной — ее неединственность. Так как производная константы равна нулю, добавление любого числа C не меняет производной. Поэтому мы всегда говорим об общем виде первообразных.
5. Геометрический смысл первообразной
Графики всех первообразных одной функции образуют семейство интегральных кривых, получаемых параллельным переносом вдоль оси ординат $Oy$. В точках с одинаковой абсциссой угловые коэффициенты касательных равны. Кривые — y = F(x) + C Сдвиг — Параллельно оси Oy
Взгляните на график: семейство графиков первообразных получается вертикальным сдвигом одной и той же кривой. В любой вертикальной полосе (при фиксированном x) касательные ко всем кривым параллельны, так как их тангенс угла наклона равен f(x).
6. Выделение частной первообразной
Через каждую точку плоскости $(x_0; y_0)$ из области определения проходит ровно один график из семейства $y = F(x) + C$. Константа находится подстановкой координат точки: $F(x_0) + C = y_0$. Начальное условие — F(x0) + C = y0 Результат — Единственное значение C
Как из бесконечного семейства выбрать одну конкретную кривую? Для этого необходимо задать дополнительное условие — точку, через которую проходит график. Это классическая начальная задача, которая часто встречается в заданиях ЕГЭ.