Векторы в пространстве

Вектор — направленный отрезок. Он определяется: • началом и концом; • направлением; • длиной, или модулем. Обозначение: \(\vec a\), \(\overrightarrow{AB}\). Равные векторы имеют одинаковую длину и направление, даже если расположены в разных точках. длина — |a| направление — a

Нулевой вектор: \(\vec 0\), его начало и конец совпадают, длина равна 0. Противоположный вектор: \(-\vec a\) имеет ту же длину, но противоположное направление. Длина вектора обозначается \(|\vec a|\). нулевой вектор — 0 противоположный — −a

Сложение выполняют по правилу треугольника: \[ \vec a+\vec b=\overrightarrow{AC}, \] если \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), а \(\overrightarrow{BC}=\vec b\). Правило параллелограмма даёт тот же результат. Умножение на число \(k\): \(k\vec a\) меняет длину в \(|k|\) раз; при \(k<0\) направление меняется на противоположное. сумма — a+b умножение — k·a

Разность — это сумма с противоположным вектором: \[ \vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b). \] Для свободных векторов можно использовать координаты: \[ (a_1,a_2,a_3)\pm(b_1,b_2,b_3) =(a_1\pm b_1,a_2\pm b_2,a_3\pm b_3). \] Пример: \((2,-1,3)-(1,4,-2)=(1,-5,5)\). разность — a−b

В прямоугольной системе координат \(Oxyz\) вектор записывают тройкой: \[ \vec a=(a_x,a_y,a_z). \] Если известны точки \(A(x_1,y_1,z_1)\) и \(B(x_2,y_2,z_2)\), то \[ \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1). \] Координаты показывают, на сколько нужно сместиться по трём осям. ось — x ось — y ось — z