Готовая презентация · 10 слайдов

Подобие треугольников

Как узнать, что треугольники подобны, и найти неизвестную сторону?

Смотреть слайды

Готовая презентация

10 слайдов · PDF и PowerPoint

Скачать PDF Скачать PowerPoint

Бесплатно после входа.

Собрать свою презентацию по этой теме →

В этой презентации

Слайд 2Что означает подобие Слайд 3Признак 1: по двум углам Слайд 10Главное о подобии

Слайды и пояснения

Показать план

План презентации

1. Подобие треугольников

Одинаковая форма — разный размер. Как узнать, что треугольники подобны, и найти неизвестную сторону? Стрелка — Увеличение в 2 раза

Подсказка для выступления

Представьте, что треугольный рисунок увеличили на копировальном аппарате. Стороны стали длиннее, но углы сохранились. Такие треугольники называют подобными. Сегодня разберём, как доказать подобие и найти неизвестную длину.

2. Что означает подобие

△ABC ∼ △DEF Соответствие вершин: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F. DE/AB = EF/BC = DF/AC = k k — коэффициент подобия при переходе от ABC к DEF. Вершины первого треугольника — A, B, C Вершины второго треугольника — D, E, F

Подсказка для выступления

По определению у подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Порядок букв в записи подобия важен: A соответствует D, B — E, C — F. В этой презентации коэффициент k показывает, во сколько раз изменяются длины при переходе от ABC к DEF. При обратном переходе коэффициент равен 1/k.

3. Признак 1: по двум углам

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны. ∠A = ∠D = 40° ∠B = ∠E = 70° Следовательно, △ABC ∼ △DEF. Первый треугольник — A, B, C Второй треугольник — D, E, F Углы A и D — 40° Углы B и E — 70°

Подсказка для выступления

Для доказательства подобия не нужно каждый раз проверять все углы и все стороны. Первый признак: достаточно двух пар равных углов. Третья пара углов будет равна автоматически, потому что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Здесь третий угол каждого треугольника равен 70 градусам.

4. Признак 2: две стороны и угол между ними

Две стороны пропорциональны, а углы между ними равны. AB = 4, AC = 6 DE = 6, DF = 9 ∠A = ∠D = 50° DE/AB = 6/4 = 1,5 DF/AC = 9/6 = 1,5 ⇒ △ABC ∼ △DEF AB — 4 AC — 6 DE — 6 DF — 9 ∠A и ∠D — 50°

Подсказка для выступления

Во втором признаке сравнивают две пары сторон и угол между ними. У первого треугольника стороны 4 и 6 сходятся в вершине A, у второго стороны 6 и 9 сходятся в вершине D. Отношения равны полутора, а углы между этими сторонами равны. Поэтому треугольники подобны. Равенство произвольных углов вместо углов между выбранными сторонами этот признак не даёт.

5. Признак 3: по трём сторонам

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, треугольники подобны. Стороны первого: 3, 4, 5. Стороны второго: 6, 8, 10. 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2 ⇒ треугольники подобны. Стороны первого — 3; 4; 5 Стороны второго — 6; 8; 10 Изменение каждой стороны — ×2

Подсказка для выступления

Третий признак работает без заданных углов: нужно равенство отношений всех трёх пар соответствующих сторон. Удобно сопоставлять наименьшую сторону с наименьшей, среднюю со средней, наибольшую с наибольшей. В примере все стороны второго треугольника вдвое больше. Проверить только две пары сторон для этого признака недостаточно.

6. Как найти неизвестную сторону

Дано: △ABC ∼ △DEF. AB = 6, DE = 9, BC = 8. Найти EF. 1. Сопоставим стороны: AB ↔ DE, BC ↔ EF. 2. Найдём коэффициент: k = 9/6 = 1,5. 3. Вычислим: EF = 8 · 1,5 = 12. Ответ: EF = 12. AB — 6 BC — 8 DE — 9 EF — 12 Переход к DEF — ×1,5

Подсказка для выступления

Здесь подобие уже дано. Начинаем с порядка букв: AB соответствует DE, а BC — EF. Коэффициент перехода к DEF равен 9 разделить на 6, то есть 1,5. Значит, EF равно 8 умножить на 1,5. Проверяем: второй треугольник больше, и найденная сторона 12 действительно больше 8. При составлении отношений нельзя менять направление сравнения для одной из пар.

7. Длины растут в k раз, площади — в k²

При переходе от ABC к DEF: Стороны и высоты — в k раз. Периметр: P₂/P₁ = k. Площадь: S₂/S₁ = k². Если k = 2, периметр увеличится в 2 раза, а площадь — в 4 раза. Маленький треугольник — S Большой треугольник — 4S Отношение сторон — k = 2

Подсказка для выступления

У подобных треугольников все линейные размеры, включая высоты, изменяются в k раз. Периметр — сумма длин сторон, поэтому он тоже изменяется в k раз. Площадь равна половине произведения основания на высоту: оба множителя увеличиваются в k раз, значит площадь увеличивается в k в квадрате раз. На рисунке большой треугольник разбит на четыре треугольника, равных маленькому.

8. Измеряем высоту по тени

Вертикальный шест высотой 1,5 м даёт тень 2 м. Тень дерева в то же время — 8 м. Треугольники подобны по двум углам. h/1,5 = 8/2 = 4 h = 6 м Модель: ровная горизонтальная земля и параллельные солнечные лучи. Высота шеста — 1,5 м Тень шеста — 2 м Тень дерева — 8 м Высота дерева — h = 6 м

Подсказка для выступления

Рассмотрим модель: земля горизонтальная, шест и дерево вертикальны, а солнечные лучи параллельны. Измерения сделаны в одно время. Вертикальные объекты и их тени образуют прямоугольные треугольники. У них равны прямые углы и углы между лучами и землёй, значит треугольники подобны по двум углам. Тень дерева в четыре раза длиннее тени шеста, поэтому и дерево в четыре раза выше шеста.

9. Проверь себя

1. У первого треугольника углы 35° и 65°, у второго — 35° и 80°. Подобны ли они? Почему? 2. △ABC ∼ △DEF. AB = 10, DE = 15, BC = 14. Найди EF. 3. Все стороны треугольника увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличилась площадь?

Подсказка для выступления

Предложите ученикам самостоятельно решить три задания и объяснить выбор действий. Ответы для проверки: 1. Да. У второго треугольника третий угол равен 65 градусам; получаем две пары равных углов и первый признак подобия. 2. Коэффициент равен 15/10=1,5; EF=14·1,5=21. 3. Отношение площадей равно 3²=9, поэтому площадь увеличится в девять раз. Если возникли ошибки, попросите сначала записать соответствующие вершины и стороны.

10. Главное о подобии

Три признака подобия: • два равных угла; • две пропорциональные стороны и равный угол между ними; • три пропорциональные стороны. Порядок решения: докажи подобие → сопоставь стороны → запиши отношение. Помни: длины — в k раз, площади — в k². Шаг 1 — Признак Шаг 2 — Соответствие Шаг 3 — Пропорция Шаг 4 — Вычисление

Подсказка для выступления

Подведём итог. Подобие описывает одинаковую форму, а коэффициент — изменение размера. Для доказательства выбираем один из трёх признаков. Затем внимательно устанавливаем соответствие вершин и сторон. Попросите учеников своими словами объяснить, почему в признаке по двум сторонам важно проверять именно угол между ними и почему площадь изменяется не в k, а в k в квадрате раз.